使用便捷类#
多项式包提供的便捷类是:
此处的序列是相应多项式基函数与系数相乘的有限和.例如,幂级数看起来像
并且具有系数 \([1, 2, 3]\) .具有相同系数的切比雪夫级数如下所示
更一般地
其中在这种情况下, \(T_n\) 是 \(n\) 度的切比雪夫函数,但也可能很容易是任何其他类的基函数.所有类的约定是系数 \(c[i]\) 与 i 度的基函数一起使用.
所有类都是不可变的并且具有相同的方法,特别是它们实现了 Python 数字运算符 +, -, , //, %, divmod, \, == 和 !=.由于浮点舍入误差,最后两个可能会有点问题.我们现在使用 NumPy 1.7.0 版本快速演示各种操作.
基础#
首先我们需要一个多项式类和一个可以操作的多项式实例.这些类可以直接从 polynomial 包或相关类型的模块导入.这里我们从包中导入并使用传统的 Polynomial 类,因为它比较熟悉:
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([1,2,3])
>>> p
Polynomial([1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
注意,长版本的打印输出分为三个部分.第一个是系数,第二个是域,第三个是窗口:
>>> p.coef
array([1., 2., 3.])
>>> p.domain
array([-1., 1.])
>>> p.window
array([-1., 1.])
打印多项式会以更熟悉的格式产生多项式表达式:
>>> print(p)
1.0 + 2.0·x + 3.0·x²
请注意,默认情况下,多项式的字符串表示形式使用 Unicode 字符(Windows 除外)来表示幂和下标.也可以使用基于 ASCII 的表示形式(Windows 上的默认设置).可以使用 set_default_printstyle 函数在包级别切换多项式字符串格式:
>>> np.polynomial.set_default_printstyle('ascii')
>>> print(p)
1.0 + 2.0 x + 3.0 x**2
或者使用字符串格式为单个多项式实例控制格式:
>>> print(f"{p:unicode}")
1.0 + 2.0·x + 3.0·x²
当我们进行拟合时,我们将处理域和窗口,目前我们忽略它们并运行基本代数和算术运算.
加法和减法:
>>> p + p
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p - p
Polynomial([0.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
乘法:
>>> p * p
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
幂:
>>> p**2
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
除法:
向下取整除法"//"是多项式类的除法运算符,在这种情况下,多项式被视为整数.对于 Python 版本 < 3.x,"/"运算符映射到"//",就像 Python 一样,对于更高版本,"/"仅适用于标量除法.在某些时候它会被弃用:
>>> p // P([-1, 1])
Polynomial([5., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
余数:
>>> p % P([-1, 1])
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
Divmod:
>>> quo, rem = divmod(p, P([-1, 1]))
>>> quo
Polynomial([5., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> rem
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
求值:
>>> x = np.arange(5)
>>> p(x)
array([ 1., 6., 17., 34., 57.])
>>> x = np.arange(6).reshape(3,2)
>>> p(x)
array([[ 1., 6.],
[17., 34.],
[57., 86.]])
替换:
用多项式替换 x 并展开结果.这里我们将 p 替换为自身,展开后会得到一个 4 次的新多项式.如果将多项式视为函数,这就是函数的组合:
>>> p(p)
Polynomial([ 6., 16., 36., 36., 27.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
根:
>>> p.roots()
array([-0.33333333-0.47140452j, -0.33333333+0.47140452j])
显式使用 Polynomial 实例并不总是很方便,因此元组,列表,数组和标量会自动转换为算术运算:
>>> p + [1, 2, 3]
Polynomial([2., 4., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> [1, 2, 3] * p
Polynomial([ 1., 4., 10., 12., 9.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p / 2
Polynomial([0.5, 1. , 1.5], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在域,窗口或类中不同的多项式不能在算术中混合使用:
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p + P([1], domain=[0,1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 213, in __add__
TypeError: Domains differ
>>> p + P([1], window=[0,1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 215, in __add__
TypeError: Windows differ
>>> p + T([1])
Traceback (most recent call last):
File "<stdin>", line 1, in <module>
File "<string>", line 211, in __add__
TypeError: Polynomial types differ
但是不同的类型可以用于替换.实际上,这就是在类型,域和窗口强制转换中 Polynomial 类之间进行转换的方式:
>>> p(T([0, 1]))
Chebyshev([2.5, 2. , 1.5], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
它给出了切比雪夫形式的多项式 p .这是因为 \(T_1(x) = x\) 并且用 \(x\) 替换 \(x\) 不会改变原始多项式.但是,所有乘法和除法都将使用切比雪夫级数完成,因此结果的类型是切比雪夫级数.
所有多项式实例都应该是不可变的,因此增强操作( += , -= 等)和任何其他会违反多项式实例不变性的功能都未有意实现.
微积分#
多项式实例可以积分和微分.:
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> p = P([2, 6])
>>> p.integ()
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.integ(2)
Polynomial([0., 0., 1., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
第一个例子对 p 进行一次积分,第二个例子对其进行两次积分.默认情况下,积分的下限和积分常数为 0,但两者都可以指定.:
>>> p.integ(lbnd=-1)
Polynomial([-1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.integ(lbnd=-1, k=1)
Polynomial([0., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在第一种情况下,积分的下限设置为 -1,积分常数为 0.在第二种情况下,积分常数也设置为 1.微分更简单,因为唯一的选项是多项式微分的次数:
>>> p = P([1, 2, 3])
>>> p.deriv(1)
Polynomial([2., 6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.deriv(2)
Polynomial([6.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
其他多项式构造函数#
通过指定系数构造多项式只是获得多项式实例的一种方式,它们也可以通过指定它们的根,从其他多项式类型转换以及通过最小二乘拟合来创建.拟合将在其自己的部分中讨论,以下演示了其他方法:
>>> from numpy.polynomial import Polynomial as P
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> p = P.fromroots([1, 2, 3])
>>> p
Polynomial([-6., 11., -6., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.convert(kind=T)
Chebyshev([-9. , 11.75, -3. , 0.25], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
convert 方法还可以转换域和窗口:
>>> p.convert(kind=T, domain=[0, 1])
Chebyshev([-2.4375 , 2.96875, -0.5625 , 0.03125], domain=[0., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p.convert(kind=P, domain=[0, 1])
Polynomial([-1.875, 2.875, -1.125, 0.125], domain=[0., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
在 numpy 版本 >= 1.7.0 中, basis 和 cast 类方法也可用.cast 方法的工作方式与 convert 方法类似,而 basis 方法返回给定次数的基多项式:
>>> P.basis(3)
Polynomial([0., 0., 0., 1.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> T.cast(p)
Chebyshev([-9. , 11.75, -3. , 0.25], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
类型之间的转换可能很有用,但不建议用于日常使用.从 50 次切比雪夫级数传递到相同次数的多项式级数会导致数值精度损失,从而使数值评估的结果本质上是随机的.
拟合#
拟合是 domain 和 window 属性成为便利类一部分的原因.为了说明这个问题,下面绘制了高达 5 次的切比雪夫多项式的值.
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-1, 1, 100)
>>> for i in range(6):
... ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="upper left")
>>> plt.show()
在范围 -1 <= x <= 1 内,它们是很好的,等波纹函数,位于 +/- 1 之间. 在范围 -2 <= x <= 2 内的相同图看起来非常不同:
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> x = np.linspace(-2, 2, 100)
>>> for i in range(6):
... ax = plt.plot(x, T.basis(i)(x), lw=2, label=f"$T_{i}$")
...
>>> plt.legend(loc="lower right")
>>> plt.show()
可以看出,"良好"部分已经缩小到无关紧要的程度.在使用切比雪夫多项式进行拟合时,我们希望使用 x 介于 -1 和 1 之间的区域,这就是 window 指定的内容.但是,要拟合的数据不太可能将其所有数据点都落在该区间内,因此我们使用 domain 来指定数据点所在的区间.完成拟合后,首先通过线性变换将域映射到窗口,然后使用映射的数据点完成通常的最小二乘拟合.拟合的窗口和域是返回序列的一部分,并且在计算值,导数等时会自动使用.如果未在调用中指定它们,则拟合例程将使用默认窗口和可以容纳所有数据点的最小域.下面通过对噪声正弦曲线进行拟合来说明这一点.
>>> import numpy as np
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> from numpy.polynomial import Chebyshev as T
>>> np.random.seed(11)
>>> x = np.linspace(0, 2*np.pi, 20)
>>> y = np.sin(x) + np.random.normal(scale=.1, size=x.shape)
>>> p = T.fit(x, y, 5)
>>> plt.plot(x, y, 'o')
>>> xx, yy = p.linspace()
>>> plt.plot(xx, yy, lw=2)
>>> p.domain
array([0. , 6.28318531])
>>> p.window
array([-1., 1.])
>>> plt.show()
