多项式#
NumPy 中的多项式可以使用 numpy.polynomial 包的 convenience classes 创建,操作甚至拟合,该包在 NumPy 1.4 中引入.
在 NumPy 1.4 之前, numpy.poly1d 是首选的类,为了保持向后兼容性,它仍然可用.但是,较新的 polynomial package 更加完整,并且其 convenience classes 为处理多项式表达式提供了更一致,更好的接口.因此,建议新编码使用 numpy.polynomial .
备注
术语
术语 polynomial module 是指在 numpy.lib.polynomial 中定义的旧 API,其中包括 numpy.poly1d 类和带有从 numpy 命名空间访问的 poly 前缀的多项式函数(例如 numpy.polyadd , numpy.polyval , numpy.polyfit 等).
术语 polynomial package 是指在 numpy.polynomial 中定义的新 API,其中包括用于不同类型多项式的便利类( Polynomial , Chebyshev 等).
从 numpy.poly1d 过渡到 numpy.polynomial#
如上所述, poly1d class 和在 numpy.lib.polynomial 中定义的关联函数(例如 numpy.polyfit 和 numpy.poly )被认为是遗留的,不应在新代码中使用.自 NumPy 1.4 版以来, numpy.polynomial 包是处理多项式的首选.
快速参考#
下表重点介绍了传统 polynomial 模块和 polynomial 包在常见任务中的一些主要区别.为了简洁起见,导入了 Polynomial 类:
from numpy.polynomial import Polynomial
如何… |
旧版 ( |
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从系数创建多项式对象 [1] |
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从根创建多项式对象 |
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将 |
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过渡指南#
numpy.lib.polynomial 和 numpy.polynomial 之间存在显着差异.最显着的区别是多项式表达式的系数顺序. numpy.polynomial 中的各种例程都处理系数从零度向上排列的序列,这与 poly1d 约定相反.记住这一点的简单方法是索引对应于度数,即 coef[i] 是 i 度项的系数.
尽管约定的差异可能会令人困惑,但从旧版多项式 API 转换为新的多项式 API 非常简单.例如,以下演示了如何将表示表达式 \(x^{2} + 2x + 3\) 的 numpy.poly1d 实例转换为表示相同表达式的 Polynomial 实例:
>>> import numpy as np
>>> p1d = np.poly1d([1, 2, 3])
>>> p = np.polynomial.Polynomial(p1d.coef[::-1])
除了 coef 属性之外,来自 polynomial 包的多项式还具有 domain 和 window 属性.这些属性在将多项式拟合到数据时最相关,但应该注意的是,具有不同 domain 和 window 属性的多项式不被认为是相等的,并且不能在算术中混合:
>>> p1 = np.polynomial.Polynomial([1, 2, 3])
>>> p1
Polynomial([1., 2., 3.], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
>>> p2 = np.polynomial.Polynomial([1, 2, 3], domain=[-2, 2])
>>> p1 == p2
False
>>> p1 + p2
Traceback (most recent call last):
...
TypeError: Domains differ
有关 domain 和 window 属性的更多详细信息,请参阅 convenience classes 的文档.
旧版 polynomial 模块和 polynomial 包之间的另一个主要区别是多项式拟合.在旧模块中,拟合是通过 polyfit 函数完成的.在 polynomial 包中,首选 fit 类方法.例如,考虑对以下数据进行简单的线性拟合:
In [1]: rng = np.random.default_rng()
In [2]: x = np.arange(10)
In [3]: y = np.arange(10) + rng.standard_normal(10)
使用旧版 polynomial 模块,可以使用 polyfit 将线性拟合(即 1 次多项式)应用于这些数据:
In [4]: np.polyfit(x, y, deg=1)
Out[4]: array([0.97358501, 0.31759559])
使用新的 polynomial API,首选 fit 类方法:
In [5]: p_fitted = np.polynomial.Polynomial.fit(x, y, deg=1)
In [6]: p_fitted
Out[6]: Polynomial([4.69872813, 4.38113254], domain=[0., 9.], window=[-1., 1.], symbol='x')
请注意,系数是在由 window 和 domain 之间的线性映射定义的缩放域中给出的. convert 可用于获取未缩放数据域中的系数.
In [7]: p_fitted.convert()
Out[7]: Polynomial([0.31759559, 0.97358501], domain=[-1., 1.], window=[-1., 1.], symbol='x')
polynomial 包的文档#
除了标准幂级数多项式外,polynomial 包还提供了几种其他类型的多项式,包括切比雪夫多项式,埃尔米特多项式(两种子类型),拉盖尔多项式和勒让德多项式.这些多项式中的每一个都有一个与 numpy.polynomial 命名空间关联的 convenience class ,它为处理多项式提供了一致的接口,而不管它们的类型如何.
有关为每种多项式分别定义的特定函数的文档,可以在相应的模块文档中找到: