numpy.cov

numpy.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None, *, dtype=None)

给定数据和权重,估计协方差矩阵.

协方差表示两个变量一起变化的程度. 如果我们检查 N 维样本, \(X = [x_1, x_2, ... x_N]^T\) ,那么协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差. 元素 \(C_{ii}\) 是 \(x_i\) 的方差.

有关算法的概述,请参见注释.

参数:

marray_like

包含多个变量和观测值的 1-D 或 2-D 数组. m 的每一行代表一个变量,每一列代表所有这些变量的单个观测值.另请参见下面的 rowvar .

yarray_like, optional

另一组变量和观测值. y 的形式与 m 的形式相同.

rowvarbool, 可选

如果 rowvar 为 True(默认值),则每一行代表一个变量,观测值在列中.否则,关系被转置:每一列代表一个变量,而行包含观测值.

biasbool, 可选

默认归一化 (False) 是 (N - 1) ,其中 N 是给定的观测值的数量(无偏估计). 如果 bias 为 True,则归一化为 N . 这些值可以使用 numpy 版本 >= 1.5 中的关键字 ddof 来覆盖.

ddof整数,可选

如果不是 None ,则 bias 隐含的默认值将被覆盖. 请注意,即使指定了 fweights 和 aweights , ddof=1 也会返回无偏估计,并且 ddof=0 将返回简单平均值. 有关详细信息,请参见注释. 默认值为 None .

fweightsarray_like, int, 可选

整数频率权重的 1-D 数组; 每个观测向量应重复的次数.

aweightsarray_like, optional

观测向量权重的 1-D 数组. 这些相对权重对于被认为“重要”的观察结果通常很大,对于被认为不太“重要”的观察结果则较小. 如果 ddof=0 ,则权重数组可用于为观测向量分配概率.

dtypedata-type,可选

结果的数据类型.默认情况下,返回的数据类型将具有至少 numpy.float64 精度.

在 1.20 版本加入.

返回:

outndarray

变量的协方差矩阵.

参见

corrcoef

归一化的协方差矩阵

注释

假设观测值位于观测数组 m 的列中,为了简洁起见,令 f = fweights 和 a = aweights . 计算加权协方差的步骤如下:

>>> m = np.arange(10, dtype=np.float64)
>>> f = np.arange(10) * 2
>>> a = np.arange(10) ** 2.
>>> ddof = 1
>>> w = f * a
>>> v1 = np.sum(w)
>>> v2 = np.sum(w * a)
>>> m -= np.sum(m * w, axis=None, keepdims=True) / v1
>>> cov = np.dot(m * w, m.T) * v1 / (v1**2 - ddof * v2)

请注意,当 a == 1 时,归一化因子 v1 / (v12 - ddof * v2) 转换为 1 / (np.sum(f) - ddof) ,应该是这样.

示例

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>>> import numpy as np

考虑两个变量 \(x_0\) 和 \(x_1\) ,它们完全相关,但方向相反:

>>> x = np.array([[0, 2], [1, 1], [2, 0]]).T
>>> x
array([[0, 1, 2],
       [2, 1, 0]])

请注意 \(x_0\) 如何增加,而 \(x_1\) 如何减少. 协方差矩阵清楚地显示了这一点:

>>> np.cov(x)
array([[ 1., -1.],
       [-1.,  1.]])

请注意元素 \(C_{0,1}\) ,它显示了 \(x_0\) 和 \(x_1\) 之间的相关性,是负数.

此外,请注意 x 和 y 是如何组合的:

>>> x = [-2.1, -1,  4.3]
>>> y = [3,  1.1,  0.12]
>>> X = np.stack((x, y), axis=0)
>>> np.cov(X)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x, y)
array([[11.71      , -4.286     ], # may vary
       [-4.286     ,  2.144133]])
>>> np.cov(x)
array(11.71)

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