numpy.polynomial.polynomial.polyvander2d#

polynomial.polynomial.polyvander2d(x, y, deg)[源代码]#

给定阶数的伪范德蒙矩阵.

返回阶数为 deg 和采样点 (x, y) 的伪范德蒙矩阵.伪范德蒙矩阵定义为

\[V[..., (deg[1] + 1)i + j] = x^i * y^j,\]

其中 0 <= i <= deg[0] 和 0 <= j <= deg[1] . V 的前导索引索引点 (x, y) ,最后一个索引编码 x 和 y 的幂.

如果 V = polyvander2d(x, y, [xdeg, ydeg]) ,则 V 的列对应于形状为 (xdeg + 1, ydeg + 1) 的二维系数数组 c 的元素,顺序为

\[c_{00}, c_{01}, c_{02} ... , c_{10}, c_{11}, c_{12} ...\]

并且 np.dot(V, c.flat) 和 polyval2d(x, y, c) 在舍入误差范围内是相同的.这种等价性对于最小二乘拟合以及对大量相同阶数和采样点的二维多项式进行求值都很有用.

参数:
x, yarray_like

点坐标数组,所有数组的形状都相同.dtype 将转换为 float64 或 complex128,具体取决于是否有任何元素是复数.标量将转换为 1-D 数组.

degint 列表

[x_deg, y_deg] 形式的最大阶数列表.

返回:
vander2dndarray

返回的矩阵的形状是 x.shape + (order,) , 其中 \(order = (deg[0]+1)*(deg([1]+1)\) . dtype 将与转换后的 x 和 y 相同.

参见

polyvander , polyvander3d , polyval2d , polyval3d

示例

>>> import numpy as np

阶数为 [1, 2] 和采样点 x = [-1, 2] 和 y = [1, 3] 的二维伪范德蒙矩阵如下:

>>> from numpy.polynomial import polynomial as P
>>> x = np.array([-1, 2])
>>> y = np.array([1, 3])
>>> m, n = 1, 2
>>> deg = np.array([m, n])
>>> V = P.polyvander2d(x=x, y=y, deg=deg)
>>> V
array([[ 1.,  1.,  1., -1., -1., -1.],
       [ 1.,  3.,  9.,  2.,  6., 18.]])

我们可以验证任何 0 <= i <= m 和 0 <= j <= n 的列:

>>> i, j = 0, 1
>>> V[:, (deg[1]+1)*i + j] == x**i * y**j
array([ True,  True])

采样点 x 和阶数 m 的(1D)范德蒙矩阵是(2D)伪范德蒙矩阵的一个特例,其中 y 点全部为零,阶数为 [m, 0] .

>>> P.polyvander2d(x=x, y=0*x, deg=(m, 0)) == P.polyvander(x=x, deg=m)
array([[ True,  True],
       [ True,  True]])