numpy.polynomial.polynomial.polyfit#
- polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#
对数据进行多项式最小二乘拟合.
返回一个 deg 次多项式的系数,该多项式是对在点 x 给出的数据值 y 的最小二乘拟合. 如果 y 是一维的,则返回的系数也将是一维的. 如果 y 是二维的,则进行多次拟合,每个 y 列对应一个拟合,并且结果系数存储在二维返回值的相应列中. 拟合的多项式采用以下形式
\[p(x) = c_0 + c_1 * x + ... + c_n * x^n,\]其中 n 是 deg .
- 参数:
- x : array_like, shape ( M ,)类似数组,形状 (
M 个样本(数据)点
(x[i], y[i])的 x 坐标.- y : array_like, shape ( M ,) or ( M , K )类似数组,形状 (
样本点的 y 坐标. 通过将 y 传递到二维数组中,可以在一次调用
polyfit中(独立地)拟合几个共享相同 x 坐标的样本点集,该数组包含每列一个数据集.- degint 或类数组一维
拟合多项式的阶数.如果 deg 是一个整数,则拟合中包含直到并包括第 deg 项的所有项.对于 NumPy 版本 >= 1.11.0,可以使用指定要包含的项的阶数的整数列表.
- rcondfloat,可选
拟合的相对条件数.相对于最大奇异值,小于 rcond 的奇异值将被忽略.默认值为
len(x)eps,其中 eps 是平台浮点类型的相对精度,在大多数情况下约为 2e-16.- fullbool, 可选
决定返回值的性质的开关.当
False(默认值)时,只返回系数;当True时,还会返回来自奇异值分解(用于求解拟合的矩阵方程)的诊断信息.- w : 类似数组,形状 ( M ,),可选类似数组,形状 (
权重.如果不是 None,则权重
w[i]应用于x[i]处的未平方残差y[i] - y_hat[i].理想情况下,选择权重是为了使乘积w[i]y[i]的误差都具有相同的方差.当使用逆方差加权时,使用w[i] = 1/sigma(y[i]).默认值为 None.
- 返回:
- coef : ndarray,形状为 ( deg + 1,) 或 ( deg + 1, K )ndarray,形状为 (
多项式系数按从小到大的顺序排列.如果 y 是二维的,则 coef 列 k 中的系数表示对 y 的第 k 列中的数据进行多项式拟合.
- [residuals, rank, singular_values, rcond]list
这些值仅在
full == True时返回.residuals – 最小二乘拟合的残差平方和
rank – 缩放后的范德蒙矩阵的数值秩
singular_values – 比例化后的范德蒙德矩阵的奇异值
rcond – rcond 的值.
有关更多详细信息,请参见
numpy.linalg.lstsq.
- 提出:
- RankWarning
如果最小二乘拟合中的矩阵是秩亏的,则会引发此异常.仅当
full == False时才引发警告.可以通过以下方式关闭警告:>>> import warnings >>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
参见
注释
该解是多项式 p 的系数,它使加权平方误差的总和最小:
\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]其中 \(w_j\) 是权重.这个问题可以通过建立(通常是)超定的矩阵方程来解决:
\[V(x) * c = w * y,\]其中 V 是 x 的加权伪范德蒙矩阵, c 是要解的系数, w 是权重, y 是观测值.然后使用 V 的奇异值分解来求解该方程.
如果 V 的某些奇异值太小以至于被忽略(并且 full ==
False),则会引发 RankWarning .这意味着系数值可能无法很好地确定.拟合到较低阶的多项式通常会消除警告(但可能不是您想要的,当然;如果您有选择不起作用的度数的独立原因,则可能必须:a) 重新考虑这些原因,和/或 b) 重新考虑数据的质量). rcond 参数也可以设置为小于其默认值的值,但结果拟合可能是虚假的,并且有较大的舍入误差贡献.使用双精度进行多项式拟合在(多项式)次数约为 20 时往往会“失败”.使用切比雪夫或勒让德级数进行拟合通常条件会更好,但很大程度上仍然取决于样本点的分布和数据的平滑度.如果拟合质量不足,样条曲线可能是一个不错的选择.
示例
>>> import numpy as np >>> from numpy.polynomial import polynomial as P >>> x = np.linspace(-1,1,51) # x "data": [-1, -0.96, ..., 0.96, 1] >>> rng = np.random.default_rng() >>> err = rng.normal(size=len(x)) >>> y = x**3 - x + err # x^3 - x + Gaussian noise >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] approx. -1, c[2] should be approx. 0, c[3] approx. 1 array([ 0.23111996, -1.02785049, -0.2241444 , 1.08405657]) # may vary >>> stats # note the large SSR, explaining the rather poor results [array([48.312088]), # may vary 4, array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]
没有添加噪声的同样事物
>>> y = x**3 - x >>> c, stats = P.polyfit(x,y,3,full=True) >>> c # c[0], c[1] ~= -1, c[2] should be "very close to 0", c[3] ~= 1 array([-6.73496154e-17, -1.00000000e+00, 0.00000000e+00, 1.00000000e+00]) >>> stats # note the minuscule SSR [array([8.79579319e-31]), np.int32(4), array([1.38446749, 1.32119158, 0.50443316, 0.28853036]), 1.1324274851176597e-14]