numpy.polynomial.legendre.legfit#

polynomial.legendre.legfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)[源代码]#

勒让德级数对数据的最小二乘拟合.

返回一个 degree 为 deg 的勒让德级数的系数,该级数是对在点 x 给定的数据值 y 的最小二乘拟合.如果 y 是一维的,则返回的系数也将是一维的.如果 y 是二维的,则进行多次拟合, y 的每一列对应一次拟合,并且结果系数存储在二维返回的相应列中.拟合的多项式形式为

\[p(x) = c_0 + c_1 * L_1(x) + ... + c_n * L_n(x),\]

其中 n 是 deg .

参数:
xarray_like, shape (M,)

M 个采样点 (x[i], y[i]) 的 x 坐标.

yarray_like, shape (M,) or (M, K)

采样点的 y 坐标. 通过传入一个包含每列一个数据集的二维数组,可以一次拟合多个共享相同 x 坐标的采样点数据集.

deg整数或类数组 (array_like) 的一维数组

拟合多项式的阶数.如果 deg 是一个整数,则最多包括 deg 阶的所有项都包含在拟合中.对于 NumPy 版本 >= 1.11.0,可以使用指定要包含的项的阶数的整数列表.

rcondfloat, optional

拟合的相对条件数. 小于此值(相对于最大奇异值)的奇异值将被忽略. 默认值为 len(x)eps,其中 eps 是浮点类型的相对精度,在大多数情况下约为 2e-16.

fullbool,可选

确定返回值性质的开关. 当它为 False(默认值)时,仅返回系数,当为 True 时,还会返回来自奇异值分解的诊断信息.

w : array_like, shape ( M ,), optionalarray_like, shape (M,), optional

权重.如果不是 None,则权重 w[i] 应用于 x[i] 处未平方的残差 y[i] - y_hat[i] .理想情况下,选择权重使得乘积 w[i]y[i] 的误差都具有相同的方差.当使用逆方差加权时,使用 w[i] = 1/sigma(y[i]) .默认值为 None.

返回:
coefndarray, shape (M,) or (M, K)

勒让德系数按从低到高的顺序排列.如果 y 是二维的,则 y 的第 k 列中的数据系数在第 k 列中.如果将 deg 指定为列表,则返回的 coef 中未包含在拟合中的项的系数设置为零.

[residuals, rank, singular_values, rcond]列表

仅当 full == True 时才返回这些值.

  • residuals – 最小二乘拟合的残差平方和

  • rank – 缩放的 Vandermonde 矩阵的数值秩

  • singular_values – 缩放的范德蒙矩阵的奇异值

  • rcond – rcond 的值.

有关更多详细信息,请参见 numpy.linalg.lstsq .

Warns:
RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足.仅当 full == False 时才会引发警告.可以通过以下方式关闭警告

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

参见

numpy.polynomial.polynomial.polyfit
numpy.polynomial.chebyshev.chebfit
numpy.polynomial.laguerre.lagfit
numpy.polynomial.hermite.hermfit
numpy.polynomial.hermite_e.hermefit
legval

计算勒让德级数.

legvander

勒让德级数的范德蒙矩阵.

legweight

勒让德权重函数 (= 1).

numpy.linalg.lstsq

从矩阵计算最小二乘拟合.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

计算样条拟合.

注释

解是勒让德級數 p 的係數,它能最小化加權平方誤差之和

\[E = \sum_j w_j^2 * |y_j - p(x_j)|^2,\]

其中 \(w_j\) 是权重.该问题通过设置为(通常)超定的矩阵方程来解决

\[V(x) * c = w * y,\]

其中 V 是 x 的加权伪范德蒙矩阵, c 是要解的系数, w 是权重, y 是观测值.然后使用 V 的奇异值分解来求解该方程.

如果 V 的某些奇异值非常小以至于可以忽略,那么将发出一个 RankWarning .这意味着系数值可能确定不佳.使用较低阶的拟合通常会消除警告. rcond 参数也可以设置为小于其默认值的值,但由此产生的拟合可能是虚假的,并且具有来自舍入误差的大量贡献.

使用勒让德级数进行拟合通常比使用幂级数进行拟合的条件更好,但这很大程度上取决于采样点的分布和数据的平滑度.如果拟合质量不足,样条曲线可能是一个不错的选择.

参考文献

[1]

维基百科,"曲线拟合",https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

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