numpy.linalg.eig#

linalg.eig(a)[源代码]#

计算一个方阵的特征值和右特征向量.

参数:
a(…, M, M) array

将计算其特征值和右特征向量的矩阵

返回:
具有以下属性的 namedtuple:
eigenvalues(…, M) array

特征值,每个特征值根据其重数重复.特征值不一定是有序的.结果数组将是复数类型,除非虚部为零,在这种情况下它将被转换为实数类型.当 a 是实数时,结果特征值将是实数(0 虚部)或成共轭对出现

eigenvectors(…, M, M) array

归一化的(单位“长度”)特征向量,使得列 eigenvectors[:,i] 是对应于特征值 eigenvalues[i] 的特征向量.

提出:
LinAlgError

如果特征值计算不收敛.

参见

eigvals

非对称数组的特征值.

eigh

实对称或复 Hermitian(共轭对称)数组的特征值和特征向量.

eigvalsh

实对称或复 Hermitian(共轭对称)数组的特征值.

scipy.linalg.eig

SciPy 中类似的函数,也可以解决广义特征值问题.

scipy.linalg.schur

酉矩阵和其他非 Hermitian 正规矩阵的最佳选择.

注释

广播规则适用,详情请参阅 numpy.linalg 的文档.

这是使用 _geev LAPACK 例程实现的,该例程计算一般方阵的特征值和特征向量.

如果存在向量 v 使得 a @ v = w * v ,则数字 w 是 a 的特征值.因此,数组 a , eigenvalues 和 eigenvectors 满足等式 a @ eigenvectors[:,i] = eigenvalues[i] * eigenvectors[:,i] 对于 \(i \in \{0,...,M-1\}\) .

数组 eigenvectors 可能不是最大秩,也就是说,某些列可能是线性相关的,尽管舍入误差可能会掩盖这一事实.如果特征值都不同,那么理论上特征向量是线性独立的,并且 a 可以通过使用 eigenvectors 的相似变换进行对角化,即 inv(eigenvectors) @ a @ eigenvectors 是对角矩阵.

对于非 Hermitian 正规矩阵,首选 SciPy 函数 scipy.linalg.schur ,因为矩阵 eigenvectors 保证是酉矩阵,而使用 eig 时则不然.Schur 分解产生一个上三角矩阵而不是对角矩阵,但对于正规矩阵,只需要上三角矩阵的对角线,其余的是舍入误差.

最后,需要强调的是, eigenvectors 由 a 的右(如右侧)特征向量组成.对于某个数 z ,满足 y.T @ a = z * y.T 的向量 y 被称为 a 的左特征向量,一般来说,矩阵的左特征向量和右特征向量不一定是彼此的(可能是共轭)转置.

参考

G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 2nd Ed., Orlando, FL, Academic Press, Inc., 1980, Various pp.

示例

>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA

(几乎)平凡的实特征值和特征向量示例.

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.diag((1, 2, 3)))
>>> eigenvalues
array([1., 2., 3.])
>>> eigenvectors
array([[1., 0., 0.],
       [0., 1., 0.],
       [0., 0., 1.]])

具有复特征值和特征向量的实矩阵;请注意,特征值是彼此的复共轭.

>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(np.array([[1, -1], [1, 1]]))
>>> eigenvalues
array([1.+1.j, 1.-1.j])
>>> eigenvectors
array([[0.70710678+0.j        , 0.70710678-0.j        ],
       [0.        -0.70710678j, 0.        +0.70710678j]])

具有实特征值(但具有复值特征向量)的复值矩阵;请注意 a.conj().T == a ,即 a 是 Hermitian 矩阵.

>>> a = np.array([[1, 1j], [-1j, 1]])
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([2.+0.j, 0.+0.j])
>>> eigenvectors
array([[ 0.        +0.70710678j,  0.70710678+0.j        ], # may vary
       [ 0.70710678+0.j        , -0.        +0.70710678j]])

注意舍入误差!

>>> a = np.array([[1 + 1e-9, 0], [0, 1 - 1e-9]])
>>> # Theor. eigenvalues are 1 +/- 1e-9
>>> eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(a)
>>> eigenvalues
array([1., 1.])
>>> eigenvectors
array([[1., 0.],
       [0., 1.]])
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