numpy.linalg.matrix_rank

linalg.matrix_rank(A, tol=None, hermitian=False, *, rtol=None)

使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩

数组的秩是数组中大于 tol 的奇异值的数量.

参数:

A{(M,), (…, M, N)} array_like

输入向量或矩阵堆叠.

tol(…) array_like, float, 可选

低于此阈值的 SVD 值被认为是零.如果 tol 为 None,并且 S 是一个包含 M 的奇异值的数组,并且 eps 是 S 的数据类型的 epsilon 值,则 tol 设置为 S.max() * max(M, N) * eps .

hermitianbool, 可选

如果为 True,则假定 A 是 Hermitian(如果是实值,则为对称),从而可以使用更有效的方法来查找奇异值.默认为 False.

rtol(…) array_like, float, 可选

相对容差分量的参数.一次只能设置 tol 或 rtol .默认为 max(M, N) * eps .

在 2.0.0 版本加入.

返回:

rank(…) array_like

A 的秩.

注释

检测秩亏的默认阈值是对 A 的奇异值大小进行测试.默认情况下,我们将小于 S.max() * max(M, N) * eps 的奇异值识别为指示秩亏(符号如上定义).这是 MATLAB 使用的算法 [1].它也出现在数值食谱中关于线性最小二乘的 SVD 解的讨论中 [2].

此默认阈值旨在检测到秩亏,从而考虑到 SVD 计算的数值误差.假设 A 中有一列是 A 中其他列的精确(在浮点数中)线性组合.通常,在 A 上计算 SVD 不会产生完全等于 0 的奇异值:最小 SVD 值与 0 的任何差异都将由 SVD 计算中的数值不精确性引起.我们用于小 SVD 值的阈值考虑了这种数值不精确性,并且默认阈值将检测到这种数值秩亏.即使 A 的某些列的线性组合不完全等于 A 的另一列,而仅在数值上非常接近 A 的另一列,该阈值也可能声明矩阵 A 秩亏.

我们选择默认阈值是因为它被广泛使用.其他的阈值也是可能的.例如,在 2007 年版的 Numerical recipes 的其他地方,还有一个替代阈值 S.max() * np.finfo(A.dtype).eps / 2. * np.sqrt(m + n + 1.) .作者将此阈值描述为基于“预期舍入误差”(p 71).

以上阈值处理了 SVD 计算中的浮点舍入误差.但是,您可能拥有有关 A 中的误差源的更多信息,这些信息会使您考虑其他容差值来检测有效秩亏.容差的最有用度量取决于您打算对矩阵执行的操作.例如,如果您的数据来自不确定性大于浮点 epsilon 的不确定测量,则选择接近该不确定性的容差可能更可取.如果不确定性是绝对的而不是相对的,则容差可能是绝对的.

参考

[1]

MATLAB 参考文档,“Rank” https://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/rank.html

[2]

W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling and B. P. Flannery, “Numerical Recipes (3rd edition)”, Cambridge University Press, 2007, page 795.

示例

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>>> import numpy as np
>>> from numpy.linalg import matrix_rank
>>> matrix_rank(np.eye(4)) # Full rank matrix
4
>>> I=np.eye(4); I[-1,-1] = 0. # rank deficient matrix
>>> matrix_rank(I)
3
>>> matrix_rank(np.ones((4,))) # 1 dimension - rank 1 unless all 0
1
>>> matrix_rank(np.zeros((4,)))
0

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