numpy.linalg.svd#

linalg.svd(a, full_matrices=True, compute_uv=True, hermitian=False)[源代码]#

奇异值分解.

当 a 是一个二维数组,且 full_matrices=False 时,它被分解为 u @ np.diag(s) @ vh = (u * s) @ vh ,其中 u 和 vh 的 Hermitian 转置是具有正交列的二维数组, s 是 a 的奇异值的一维数组.当 a 是更高维时,SVD以堆叠模式应用,如下面所述.

参数:
a(…, M, N) array_like

一个 real 或 complex 数组,带有 a.ndim >= 2 .

full_matricesbool,可选

如果为 True (默认),则 u 和 vh 分别具有形状 (..., M, M) 和 (..., N, N) .否则,形状分别为 (..., M, K) 和 (..., K, N) ,其中 K = min(M, N) .

compute_uvbool,可选

是否计算 u 和 vh ,以及 s .默认为 True.

hermitianbool,可选

如果为 True,则假定 a 是 Hermitian(如果为实值,则为对称矩阵),从而可以更有效地找到奇异值. 默认为 False.

返回:
当 compute_uv 为 True 时,结果是一个具有以下属性名称的 namedtuple:
属性名称:
U{ (…, M, M), (…, M, K) } array

酉矩阵.第一个 a.ndim - 2 维度的大小与输入 a 的大小相同.最后两个维度的大小取决于 full_matrices 的值.仅当 compute_uv 为 True 时返回.

S(…, K) array

包含奇异值的向量,每个向量都按降序排序.第一个 a.ndim - 2 维度的大小与输入 a 的大小相同.

Vh{ (…, N, N), (…, K, N) } array

酉矩阵.第一个 a.ndim - 2 维度的大小与输入 a 的大小相同.最后两个维度的大小取决于 full_matrices 的值.仅当 compute_uv 为 True 时返回.

Raises:
LinAlgError

如果 SVD 计算不收敛.

参见

scipy.linalg.svd

SciPy 中的类似函数.

scipy.linalg.svdvals

计算矩阵的奇异值.

注释

该分解使用 LAPACK 例程 _gesdd 执行.

SVD 通常描述为二维矩阵 \(A\) 的分解.更高维度的情况将在下面讨论.在二维情况下,SVD 写为 \(A = U S V^H\) ,其中 \(A = a\) , \(U= u\) , \(S= \mathtt{np.diag}(s)\) 和 \(V^H = vh\) .一维数组 s 包含 a 的奇异值, u 和 vh 是酉矩阵. vh 的行是 \(A^H A\) 的特征向量, u 的列是 \(A A^H\) 的特征向量.在这两种情况下,对应的(可能非零)特征值由 s2 给出.

如果 a 具有两个以上的维度,则应用广播规则,如 一次对多个矩阵进行线性代数运算 中所述.这意味着 SVD 以"堆叠"模式工作:它迭代第一个 a.ndim - 2 维度的所有索引,并且对于每个组合,SVD 应用于最后两个索引.矩阵 a 可以从分解中重建,可以使用 (u * s[..., None, :]) @ vh 或 u @ (s[..., None] * vh) .(对于低于 3.5 的 python 版本, @ 运算符可以替换为函数 np.matmul .)

如果 a 是一个 matrix 对象(而不是一个 ndarray ),那么所有的返回值也是.

示例

>>> import numpy as np
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> a = rng.normal(size=(9, 6)) + 1j*rng.normal(size=(9, 6))
>>> b = rng.normal(size=(2, 7, 8, 3)) + 1j*rng.normal(size=(2, 7, 8, 3))

基于完整 SVD 的重建,二维情形:

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=True)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((9, 9), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(U[:, :6] * S, Vh))
True
>>> smat = np.zeros((9, 6), dtype=complex)
>>> smat[:6, :6] = np.diag(S)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(smat, Vh)))
True

基于约简 SVD 的重建,二维情形:

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(a, full_matrices=False)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((9, 6), (6,), (6, 6))
>>> np.allclose(a, np.dot(U * S, Vh))
True
>>> smat = np.diag(S)
>>> np.allclose(a, np.dot(U, np.dot(smat, Vh)))
True

基于完整 SVD 的重建,四维情形:

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=True)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((2, 7, 8, 8), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(U[..., :3] * S[..., None, :], Vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(U[..., :3], S[..., None] * Vh))
True

基于约简 SVD 的重建,四维情形:

>>> U, S, Vh = np.linalg.svd(b, full_matrices=False)
>>> U.shape, S.shape, Vh.shape
((2, 7, 8, 3), (2, 7, 3), (2, 7, 3, 3))
>>> np.allclose(b, np.matmul(U * S[..., None, :], Vh))
True
>>> np.allclose(b, np.matmul(U, S[..., None] * Vh))
True
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