numpy.linalg.norm

linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

矩阵或向量范数.

此函数能够返回八种不同的矩阵范数之一,或无限数量的向量范数之一(如下所述),具体取决于 ord 参数的值.

参数:

xarray_like

输入数组.如果 axis 为 None,则 x 必须是 1-D 或 2-D,除非 ord 为 None.如果 axis 和 ord 均为 None,则将返回 x.ravel 的 2 范数.

ord{int, float, inf, -inf, ‘fro’, ‘nuc’}, 可选

范数的阶数(有关矩阵和向量分别支持哪些值,请参见“注释”下的表). inf 表示 numpy 的 inf 对象.默认值为 None.

axis{None, int, 2-tuple of ints}, 可选.

如果 axis 是一个整数,则它指定 x 中计算向量范数的轴.如果 axis 是一个 2 元组,则它指定包含 2-D 矩阵的轴,并计算这些矩阵的矩阵范数.如果 axis 为 None,则返回向量范数(当 x 为 1-D 时)或矩阵范数(当 x 为 2-D 时).默认值为 None.

keepdimsbool, 可选

如果设置为 True,则进行范数计算的轴将保留在结果中,作为大小为 1 的维度.使用此选项,结果将与原始的 x 正确广播.

返回:

nfloat 或 ndarray

矩阵或向量的范数.

参见

scipy.linalg.norm

SciPy 中类似的函数.

注释

对于 ord < 1 的值,严格来说,结果不是数学上的“范数”,但它可能仍然对各种数值目的有用.

可以计算以下范数:

ord	矩阵的范数	向量的范数
None	Frobenius 范数	2-范数
‘fro’	Frobenius 范数	–
‘nuc’	核范数	–
inf	max(sum(abs(x), axis=1))	max(abs(x))
-inf	min(sum(abs(x), axis=1))	min(abs(x))
0	–	sum(x != 0)
1	max(sum(abs(x), axis=0))	如下
-1	min(sum(abs(x), axis=0))	如下
2	2-范数 (最大奇异值)	如下
-2	最小奇异值	如下
其他	–	sum(abs(x)ord)(1./ord)

Frobenius 范数由 [1] 给出:

\(||A||_F = [\sum_{i,j} abs(a_{i,j})^2]^{1/2}\)

核范数是奇异值的总和.

Frobenius 范数和核范数都仅为矩阵定义,当 x.ndim != 2 时会引发 ValueError.

参考

[1]

G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press, 1985, pg. 15

示例

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>>> import numpy as np
>>> from numpy import linalg as LA
>>> a = np.arange(9) - 4
>>> a
array([-4, -3, -2, ...,  2,  3,  4])
>>> b = a.reshape((3, 3))
>>> b
array([[-4, -3, -2],
       [-1,  0,  1],
       [ 2,  3,  4]])

>>> LA.norm(a)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 'fro')
7.745966692414834
>>> LA.norm(a, np.inf)
4.0
>>> LA.norm(b, np.inf)
9.0
>>> LA.norm(a, -np.inf)
0.0
>>> LA.norm(b, -np.inf)
2.0

>>> LA.norm(a, 1)
20.0
>>> LA.norm(b, 1)
7.0
>>> LA.norm(a, -1)
-4.6566128774142013e-010
>>> LA.norm(b, -1)
6.0
>>> LA.norm(a, 2)
7.745966692414834
>>> LA.norm(b, 2)
7.3484692283495345

>>> LA.norm(a, -2)
0.0
>>> LA.norm(b, -2)
1.8570331885190563e-016 # may vary
>>> LA.norm(a, 3)
5.8480354764257312 # may vary
>>> LA.norm(a, -3)
0.0

使用 axis 参数计算向量范数:

>>> c = np.array([[ 1, 2, 3],
...               [-1, 1, 4]])
>>> LA.norm(c, axis=0)
array([ 1.41421356,  2.23606798,  5.        ])
>>> LA.norm(c, axis=1)
array([ 3.74165739,  4.24264069])
>>> LA.norm(c, ord=1, axis=1)
array([ 6.,  6.])

使用 axis 参数计算矩阵范数:

>>> m = np.arange(8).reshape(2,2,2)
>>> LA.norm(m, axis=(1,2))
array([  3.74165739,  11.22497216])
>>> LA.norm(m[0, :, :]), LA.norm(m[1, :, :])
(3.7416573867739413, 11.224972160321824)

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