numpy.linalg.inv

linalg.inv(a)

计算矩阵的逆.

给定一个方阵 a ,返回满足 a @ ainv = ainv @ a = eye(a.shape[0]) 的矩阵 ainv .

参数:

a(…, M, M) array_like

要进行反转的矩阵.

返回:

ainv(…, M, M) ndarray or matrix

矩阵 a 的逆.

Raises:

LinAlgError

如果 a 不是方阵或反转失败.

参见

scipy.linalg.inv

SciPy 中的类似函数.

numpy.linalg.cond

计算矩阵的条件数.

numpy.linalg.svd

计算矩阵的奇异值分解.

注释

应用广播规则,有关详细信息,请参见 numpy.linalg 文档.

如果检测到 a 是奇异的,则会引发 LinAlgError .如果 a 是病态的,则可能会引发 LinAlgError ,也可能不会引发,并且由于浮点误差,结果可能不准确.

参考文献

[1]

Wikipedia, “Condition number”, https://en.wikipedia.org/wiki/Condition_number

示例

Try it in your browser!

>>> import numpy as np
>>> from numpy.linalg import inv
>>> a = np.array([[1., 2.], [3., 4.]])
>>> ainv = inv(a)
>>> np.allclose(a @ ainv, np.eye(2))
True
>>> np.allclose(ainv @ a, np.eye(2))
True

如果 a 是一个矩阵对象,那么返回值也是一个矩阵:

>>> ainv = inv(np.matrix(a))
>>> ainv
matrix([[-2. ,  1. ],
        [ 1.5, -0.5]])

可以一次计算多个矩阵的逆:

>>> a = np.array([[[1., 2.], [3., 4.]], [[1, 3], [3, 5]]])
>>> inv(a)
array([[[-2.  ,  1.  ],
        [ 1.5 , -0.5 ]],
       [[-1.25,  0.75],
        [ 0.75, -0.25]]])

如果一个矩阵接近奇异,即使没有引发 LinAlgError ,计算出的逆也可能不满足 a @ ainv = ainv @ a = eye(a.shape[0]) :

>>> a = np.array([[2,4,6],[2,0,2],[6,8,14]])
>>> inv(a)  # No errors raised
array([[-1.12589991e+15, -5.62949953e+14,  5.62949953e+14],
   [-1.12589991e+15, -5.62949953e+14,  5.62949953e+14],
   [ 1.12589991e+15,  5.62949953e+14, -5.62949953e+14]])
>>> a @ inv(a)
array([[ 0.   , -0.5  ,  0.   ],  # may vary
       [-0.5  ,  0.625,  0.25 ],
       [ 0.   ,  0.   ,  1.   ]])

要检测病态矩阵,可以使用 numpy.linalg.cond 计算其条件数 [1] .条件数越大,矩阵的病态程度越高.根据经验,如果条件数 cond(a) = 10k ,那么除了算术方法导致的精度损失之外,您最多可能会损失 k 位精度的准确性.

>>> from numpy.linalg import cond
>>> cond(a)
np.float64(8.659885634118668e+17)  # may vary

也可以通过直接检查矩阵的奇异值来检测病态性.最大和最小奇异值之间的比率就是条件数:

>>> from numpy.linalg import svd
>>> sigma = svd(a, compute_uv=False)  # Do not compute singular vectors
>>> sigma.max()/sigma.min()
8.659885634118668e+17  # may vary

Go BackOpen In Tab