numpy.random.Generator.multivariate_normal#
method
- random.Generator.multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid='warn', tol=1e-8, *, method='svd')#
从多元正态分布中抽取随机样本.
多元正态分布,多正态分布或高斯分布是一维正态分布向更高维度的推广.这种分布由其均值和协方差矩阵指定.这些参数类似于一维正态分布的均值(平均值或"中心")和方差(标准差的平方或"宽度").
- 参数:
- 均值长度为 N 的类数组 1-D 数组
N 维分布的均值.
- cov形状为 (N, N) 的类数组 2-D 数组
分布的协方差矩阵.对于适当的采样,它必须是对称的和正半定的.
- sizeint 或 int 元组,可选
给定例如
(m,n,k)的形状,则生成mnk个样本,并以 m -by- n -by- k 排列方式打包.由于每个样本都是 N 维的,因此输出形状为(m,n,k,N). 如果未指定形状,则返回单个( N -D)样本.- check_valid{ ‘warn’, ‘raise’, ‘ignore’ }, optional
协方差矩阵非正定时的行为.
- tolfloat, optional
检查协方差矩阵中奇异值的容差.cov 在检查之前会被转换为 double 类型.
- method{ ‘svd’, ‘eigh’, ‘cholesky’}, optional
cov 输入用于计算因子矩阵 A,使得
A @ A.T = cov.此参数用于选择用于计算因子矩阵 A 的方法.默认方法 ‘svd’ 最慢,而 ‘cholesky’ 最快,但不如最慢的方法稳健.方法 eigh 使用特征分解来计算 A,比 svd 快,但比 cholesky 慢.
- 返回:
- outndarray
如果提供了 size,则返回指定大小的抽取样本; 如果未提供,则返回
(N,).也就是说,每个条目
out[i,j,...,:]都是从分布中抽取的 N 维值.
注释
均值是 N 维空间中的一个坐标,它表示最有可能生成样本的位置.这类似于一维或单变量正态分布的钟形曲线的峰值.
协方差表示两个变量一起变化的程度.从多元正态分布中,我们抽取 N 维样本, \(X = [x_1, x_2, ... x_N]\) .协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差.元素 \(C_{ii}\) 是 \(x_i\) 的方差(即它的"离散程度").
除了指定完整的协方差矩阵之外,常用的近似方法包括:
球形协方差( cov 是单位矩阵的倍数)
对角协方差( cov 具有非负元素,且只存在于对角线上)
通过绘制生成的数据点,可以在二维中看到这种几何特性:
>>> mean = [0, 0] >>> cov = [[1, 0], [0, 100]] # diagonal covariance
对角协方差意味着点沿 x 轴或 y 轴定向:
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> rng = np.random.default_rng() >>> x, y = rng.multivariate_normal(mean, cov, 5000).T >>> plt.plot(x, y, 'x') >>> plt.axis('equal') >>> plt.show()
请注意,协方差矩阵必须是正半定矩阵(也称为非负定矩阵). 否则,此方法的行为未定义且不保证向后兼容性.
此函数在内部使用线性代数例程,因此在不同的架构,操作系统甚至构建中,结果可能不完全相同(即使达到精度也是如此). 例如,如果
cov具有多个相等的奇异值且method为'svd'(默认),则可能会发生这种情况. 在这种情况下,method='cholesky'可能更稳健.参考文献
[1]Papoulis, A., “Probability, Random Variables, and Stochastic Processes,” 3rd ed., New York: McGraw-Hill, 1991.
[2]Duda, R. O., Hart, P. E., and Stork, D. G., “Pattern Classification,” 2nd ed., New York: Wiley, 2001.
示例
>>> mean = (1, 2) >>> cov = [[1, 0], [0, 1]] >>> rng = np.random.default_rng() >>> x = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3)) >>> x.shape (3, 3, 2)
我们可以使用默认方法以外的其他方法来分解 cov:
>>> y = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3), method='cholesky') >>> y.shape (3, 3, 2)
这里我们从具有均值 [0, 0] 和协方差矩阵 [[6, -3], [-3, 3.5]] 的二元正态分布中生成 800 个样本. 样本的第一个和第二个分量的预期方差分别为 6 和 3.5,预期相关系数为 -3/sqrt(63.5) ≈ -0.65465.
>>> cov = np.array([[6, -3], [-3, 3.5]]) >>> pts = rng.multivariate_normal([0, 0], cov, size=800)
检查样本的均值,协方差和相关系数是否接近预期值:
>>> pts.mean(axis=0) array([ 0.0326911 , -0.01280782]) # may vary >>> np.cov(pts.T) array([[ 5.96202397, -2.85602287], [-2.85602287, 3.47613949]]) # may vary >>> np.corrcoef(pts.T)[0, 1] -0.6273591314603949 # may vary
我们可以使用散点图可视化这些数据.点云的方向说明了该样本分量的负相关性.
>>> import matplotlib.pyplot as plt >>> plt.plot(pts[:, 0], pts[:, 1], '.', alpha=0.5) >>> plt.axis('equal') >>> plt.grid() >>> plt.show()
