numpy.random.Generator.multivariate_normal#

method

random.Generator.multivariate_normal(mean, cov, size=None, check_valid='warn', tol=1e-8, *, method='svd')#

从多元正态分布中抽取随机样本.

多元正态分布,多正态分布或高斯分布是一维正态分布向更高维度的推广.这种分布由其均值和协方差矩阵指定.这些参数类似于一维正态分布的均值(平均值或“中心”)和方差(标准差的平方或“宽度”).

参数:
mean长度为 N 的 1 维类数组

N 维分布的均值.

cov形状为 (N, N) 的 2 维类数组

分布的协方差矩阵.它必须是对称的和半正定的,才能进行适当的采样.

sizeint 或 int 的元组,可选.

给定一个形状,例如 (m,n,k) ,则生成 mnk 个样本,并将其打包成 m -by- n -by- k 的排列.由于每个样本都是 N 维的,因此输出形状为 (m,n,k,N) .如果未指定形状,则返回单个( N -D)样本.

check_valid{ ‘warn’, ‘raise’, ‘ignore’ }, 可选

当协方差矩阵不是正半定时的行为.

tolfloat,可选

检查协方差矩阵中的奇异值时的容差.在检查之前,cov 会被转换为双精度.

method{ ‘svd’, ‘eigh’, ‘cholesky’}, 可选

cov 输入用于计算因子矩阵 A,使得 A @ A.T = cov .此参数用于选择用于计算因子矩阵 A 的方法.默认方法“svd”最慢,而“cholesky”最快,但不如最慢的方法稳健.方法“eigh”使用特征分解来计算 A,并且比 svd 快,但比 cholesky 慢.

返回:
outndarray

绘制的样本,如果提供了大小,则形状为 size. 如果没有,则形状为 (N,) .

换句话说,每个条目 out[i,j,...,:] 是从分布中提取的 N 维值.

注释

均值是 N 维空间中的一个坐标,它表示最有可能生成样本的位置.这类似于一维或单变量正态分布的钟形曲线的峰值.

协方差指示两个变量一起变化的程度. 从多元正态分布中,我们抽取 N 维样本 \(X = [x_1, x_2, ... x_N]\) . 协方差矩阵元素 \(C_{ij}\) 是 \(x_i\) 和 \(x_j\) 的协方差. 元素 \(C_{ii}\) 是 \(x_i\) 的方差(即其“散布”).

除了指定完整的协方差矩阵之外,常用的近似方法包括:

  • 球形协方差( cov 是单位矩阵的倍数)

  • 对角协方差( cov 具有非负元素,且仅在对角线上)

通过绘制生成的数据点,可以在二维中看到这种几何属性:

>>> mean = [0, 0]
>>> cov = [[1, 0], [0, 100]]  # diagonal covariance

对角协方差意味着点沿 x 轴或 y 轴定向:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x, y = rng.multivariate_normal(mean, cov, 5000).T
>>> plt.plot(x, y, 'x')
>>> plt.axis('equal')
>>> plt.show()

请注意,协方差矩阵必须是半正定的(也就是非负定的).否则,此方法的行为是未定义的,并且不保证向后兼容性.

此函数在内部使用线性代数例程,因此在不同的架构,操作系统甚至构建中,结果可能不完全相同(即使达到精度).例如,如果 cov 具有多个相等的奇异值并且 method 为 'svd' (默认),则可能发生这种情况.在这种情况下, method='cholesky' 可能更健壮.

参考

[1]

Papoulis, A., “Probability, Random Variables, and Stochastic Processes,” 3rd ed., New York: McGraw-Hill, 1991.

[2]

Duda, R. O., Hart, P. E., and Stork, D. G., “Pattern Classification,” 2nd ed., New York: Wiley, 2001.

示例

>>> mean = (1, 2)
>>> cov = [[1, 0], [0, 1]]
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> x = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3))
>>> x.shape
(3, 3, 2)

我们可以使用默认方法之外的其他方法来分解协方差矩阵:

>>> y = rng.multivariate_normal(mean, cov, (3, 3), method='cholesky')
>>> y.shape
(3, 3, 2)

这里我们从均值为 [0, 0],协方差矩阵为 [[6, -3], [-3, 3.5]] 的二维正态分布中生成 800 个样本.样本的第一和第二分量的预期方差分别为 6 和 3.5,预期相关系数为 -3/sqrt(63.5) ≈ -0.65465.

>>> cov = np.array([[6, -3], [-3, 3.5]])
>>> pts = rng.multivariate_normal([0, 0], cov, size=800)

检查样本的均值,协方差和相关系数是否接近期望值:

>>> pts.mean(axis=0)
array([ 0.0326911 , -0.01280782])  # may vary
>>> np.cov(pts.T)
array([[ 5.96202397, -2.85602287],
       [-2.85602287,  3.47613949]])  # may vary
>>> np.corrcoef(pts.T)[0, 1]
-0.6273591314603949  # may vary

我们可以用散点图来可视化这些数据.点云的方向说明了该样本分量的负相关性.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(pts[:, 0], pts[:, 1], '.', alpha=0.5)
>>> plt.axis('equal')
>>> plt.grid()
>>> plt.show()
../../../_images/numpy-random-Generator-multivariate_normal-1.png