numpy.random.Generator.standard_t

method

random.Generator.standard_t(df, size=None)

从具有 df 自由度的标准学生 t 分布中抽取样本.

双曲分布的一个特例.当 df 变大时,结果类似于标准正态分布 ( standard_normal ).

参数:

dffloat 或 floats 的类数组对象

自由度,必须 > 0.

sizeint 或 int 的元组,可选.

输出形状.如果给定的形状是,例如, (m, n, k) ,则抽取 m * n * k 个样本.如果size为 None (默认),则当 df 是标量时,返回单个值.否则,抽取 np.array(df).size 个样本.

返回:

outndarray 或标量

从参数化的标准学生 t 分布中抽取的样本.

注释

t 分布的概率密度函数为

\[P(x, df) = \frac{\Gamma(\frac{df+1}{2})}{\sqrt{\pi df} \Gamma(\frac{df}{2})}\Bigl( 1+\frac{x^2}{df} \Bigr)^{-(df+1)/2}\]

t 检验基于数据来自正态分布的假设. t 检验提供了一种测试样本均值(即从数据计算得出的均值)是否是对真实均值的良好估计的方法.

t 分布的推导最初由 William Gosset 于 1908 年在都柏林的 Guinness 酿酒厂工作时发表. 由于专有权问题,他不得不以笔名发表,因此他使用了 Student 这个名字.

参考

[1]

Dalgaard, Peter, “Introductory Statistics With R”, Springer, 2002.

[2]

Wikipedia, “Student’s t-distribution” https://en.wikipedia.org/wiki/Student’s_t-distribution

示例

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从 Dalgaard 第 83 页 [1] ,假设 11 名女性的每日能量摄入量(千焦耳 (kJ))为:

>>> intake = np.array([5260., 5470, 5640, 6180, 6390, 6515, 6805, 7515, \
...                    7515, 8230, 8770])

他们的能量摄入量是否系统性地偏离了 7725 kJ 的推荐值? 我们的零假设将是不存在偏差,而备择假设将是存在可能为正或为负的影响,因此我们的检验为双尾检验.

因为我们在估计均值,并且我们的样本中有 N=11 个值,所以我们有 N-1=10 个自由度. 我们将显着性水平设置为 95%,并使用摄入量的经验均值和经验标准差计算 t 统计量. 我们使用 ddof 为 1 来使我们的经验标准差计算基于方差的无偏估计(注意:由于平方根的凹性,最终估计不是无偏的).

>>> np.mean(intake)
6753.636363636364
>>> intake.std(ddof=1)
1142.1232221373727
>>> t = (np.mean(intake)-7725)/(intake.std(ddof=1)/np.sqrt(len(intake)))
>>> t
-2.8207540608310198

我们从具有足够自由度的学生 t 分布中抽取 1000000 个样本.

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> rng = np.random.default_rng()
>>> s = rng.standard_t(10, size=1000000)
>>> h = plt.hist(s, bins=100, density=True)

我们的 t 统计量是否落在分布双尾的两个临界区域之一?

>>> np.sum(np.abs(t) < np.abs(s)) / float(len(s))
0.018318  #random < 0.05, statistic is in critical region

此次双尾检验的概率值约为 1.83%,低于 5% 的预定显著性阈值.

因此,在零假设为真的条件下,观察到像我们摄入量这样极端值的概率太低,我们拒绝没有偏差的零假设.

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