numpy.ma.polyfit#

ma.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)[源代码]#

最小二乘多项式拟合.

备注

这是旧多项式 API 的一部分.自 1.4 版本以来,首选在 numpy.polynomial 中定义的新多项式 API.差异摘要可以在 transition guide 中找到.

将 deg 阶多项式 p(x) = p[0] * xdeg + ... + p[deg] 拟合到点 (x, y) .返回一个系数向量 p ,该向量以 deg , deg-1 ,… 0 的顺序最小化平方误差.

建议新代码使用 Polynomial.fit 类方法,因为它在数值上更稳定.有关更多信息,请参见该方法的文档.

参数:
xarray_like,形状 (M,)

M 个采样点 (x[i], y[i]) 的 x 坐标.

yarray_like,形状 (M,) 或 (M, K)

采样点的 y 坐标.可以通过传入一个 2D 数组一次性拟合多个共享相同 x 坐标的采样点数据集,该数组的每一列包含一个数据集.

degint

拟合多项式的阶数

rcondfloat,可选

拟合的相对条件数.小于最大奇异值的此相对值的奇异值将被忽略.默认值为 len(x)eps,其中 eps 是浮点类型的相对精度,在大多数情况下约为 2e-16.

fullbool, 可选

决定返回值的性质的开关.当为 False(默认值)时,仅返回系数,当为 True 时,还会返回奇异值分解的诊断信息.

warray_like,形状 (M,),可选

权重.如果不是 None,则权重 w[i] 应用于 x[i] 处的未平方残差 y[i] - y_hat[i] .理想情况下,选择权重是为了使乘积 w[i]y[i] 的误差都具有相同的方差.当使用逆方差加权时,使用 w[i] = 1/sigma(y[i]) .默认值为 None.

covbool 或 str,可选

如果给定且不为 False ,则不仅返回估计值,还返回其协方差矩阵.默认情况下,协方差按 chi2/dof 缩放,其中 dof = M - (deg + 1),即假定权重是不可靠的,除非在相对意义上,并且所有内容都被缩放,以便减少的 chi2 为 unity.如果 cov='unscaled' ,则省略此缩放,这与权重为 w = 1/sigma 的情况相关,其中 sigma 被认为是不确定性的可靠估计.

返回:
pndarray,形状 (deg + 1,) 或 (deg + 1, K)

多项式系数,最高次幂优先.如果 y 是 2-D 的,则 k -th 数据集的系数在 p[:,k] 中.

residuals, rank, singular_values, rcond

这些值仅在 full == True 时返回.

  • residuals – 最小二乘拟合的残差平方和

  • rank – 缩放后的 Vandermonde 的有效秩

    系数矩阵

  • singular_values – 缩放后的 Vandermonde 的奇异值

    系数矩阵

  • rcond – rcond 的值.

有关更多详细信息,请参见 numpy.linalg.lstsq .

Vndarray,形状 (deg + 1, deg + 1) 或 (deg + 1, deg + 1, K)

仅当 full == False 和 cov == True 时才显示.多项式系数估计值的协方差矩阵.此矩阵的对角线是每个系数的方差估计值.如果 y 是一个 2-D 数组,则第 k 个数据集的协方差矩阵在 V[:,:,k] 中

Warns:
RankWarning

最小二乘拟合中系数矩阵的秩不足.仅当 full == False 时才会引发该警告.

可以通过以下方式关闭警告

>>> import warnings
>>> warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)

参见

polyval

计算多项式值.

linalg.lstsq

计算最小二乘拟合.

scipy.interpolate.UnivariateSpline

计算样条拟合.

注释

x 中的任何屏蔽值都会在 y 中传播,反之亦然.

该解决方案最小化了平方误差

\[E = \sum_{j=0}^k |p(x_j) - y_j|^2\]

在以下方程式中:

x[0]**n * p[0] + ... + x[0] * p[n-1] + p[n] = y[0]
x[1]**n * p[0] + ... + x[1] * p[n-1] + p[n] = y[1]
...
x[k]**n * p[0] + ... + x[k] * p[n-1] + p[n] = y[k]

系数 p 的系数矩阵是一个范德蒙矩阵.

当最小二乘拟合的条件不佳时, polyfit 会发出 RankWarning . 这意味着由于数值误差,最佳拟合未明确定义. 通过降低多项式阶数或将 x 替换为 x - x .mean() 可以改善结果. rcond 参数也可以设置为小于其默认值,但由此产生的拟合可能是虚假的:包括来自小奇异值的贡献可能会为结果增加数值噪声.

请注意,当多项式的阶数很大或样本点间隔未正确居中时,拟合多项式系数本质上条件不佳. 在这些情况下,应始终检查拟合的质量. 当多项式拟合不令人满意时,样条曲线可能是一个不错的选择.

参考

[1]

维基百科,“曲线拟合”,https://en.wikipedia.org/wiki/Curve_fitting

[2]

维基百科,“多项式插值”,https://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_interpolation

示例

>>> import numpy as np
>>> import warnings
>>> x = np.array([0.0, 1.0, 2.0, 3.0,  4.0,  5.0])
>>> y = np.array([0.0, 0.8, 0.9, 0.1, -0.8, -1.0])
>>> z = np.polyfit(x, y, 3)
>>> z
array([ 0.08703704, -0.81349206,  1.69312169, -0.03968254]) # may vary

使用 poly1d 对象处理多项式很方便:

>>> p = np.poly1d(z)
>>> p(0.5)
0.6143849206349179 # may vary
>>> p(3.5)
-0.34732142857143039 # may vary
>>> p(10)
22.579365079365115 # may vary

高阶多项式可能会剧烈振荡:

>>> with warnings.catch_warnings():
...     warnings.simplefilter('ignore', np.exceptions.RankWarning)
...     p30 = np.poly1d(np.polyfit(x, y, 30))
...
>>> p30(4)
-0.80000000000000204 # may vary
>>> p30(5)
-0.99999999999999445 # may vary
>>> p30(4.5)
-0.10547061179440398 # may vary

图示:

>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> xp = np.linspace(-2, 6, 100)
>>> _ = plt.plot(x, y, '.', xp, p(xp), '-', xp, p30(xp), '--')
>>> plt.ylim(-2,2)
(-2, 2)
>>> plt.show()
../../_images/numpy-ma-polyfit-1.png
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